ችግር፦ የጠረጴዛ ገደቡ

በሂሳብ መዝናናት

መጀመሪያ እራስዎ ይሞክሩ። እያንዳንዱ መፍትሔ ተደብቋል፤ ዝግጁ ሲሆኑ ይክፈቱት።

1. አንድ MartingaleስልትMartingaleከእያንዳንዱ መሸነፍ በኋላ ውርርዱን እጥፍ የሚያደርግ የውርርድ ማሳደጊያ ስርዓት። ምን እንደሚያደርግና ምን እንደማያደርግ ለማወቅ «የሩሌት የውርርድ ስልቶች» ክፍልን ይመልከቱ።ሙሉውን ያንብቡ → በቀይውርርድቀይበ18ቱ ቀይ ቁጥሮች ላይ የሚደረግ እኩል ክፍያ ውርርድ። በፈረንሳይኛ፦ rouge።ሙሉውን ያንብቡ → ላይ በ$100 ይጀምራል፤ በአንድ ዑደት ቢበዛ n ውርርዶችን ብቻ ይፈቅዳል፦ ከn ተከታታይ መሸነፎች በኋላ ትቶ እንደገና ይጀምራል። የአንድ ዑደት አማካይ ውጤት በn ላይ የተመሠረተ ቀመር አድርገው ይጻፉ፤ በአውሮፓ መንኮራኩር ላይ ለ5፣ 6 እና 7 ውርርዶችም ያስሉት።

   መፍትሔውን ያሳዩ

   መልስ አማካዩ 100 × (1 − (38/37)ⁿ) ነው፦ ለ5 ውርርዶች −$14.26፣ ለ6 −$17.35፣ ለ7 ደግሞ −$20.52። ብዙ ውርርዶችን መፍቀድ አማካዩን ዑደት ያባብሰዋል እንጂ አያሻሽለውም።

   n ውርርዶቹ ሁሉም ካልተሸነፉ በስተቀር ዑደቱ $100 ያሸንፋል፤ ሁሉም የሚሸነፉት በqⁿ የመከሰት ዕድል ነው፤ እዚህ q = 19/37። ሁሉም ሲሸነፉ 100፣ 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ የውርርድ መጠኖች ተደምረው 100 × (2ⁿ − 1) ይሆናሉ። ስለዚህ አማካዩ 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ) ነው።

   እዚህ 2q = 38/37 ነው፣ ከ1 በትንሹ ይበልጣል፤ ስለዚህ (2q)ⁿ ከn ጋር ያድጋል፣ አማካዩም ይወርዳል፦ n = 5 1.1426 እና −$14.26 ይሰጣል፤ n = 6 1.1735 እና −$17.35 ይሰጣል፤ n = 7 1.2052 እና −$20.52 ይሰጣል። ረዘም ያለ መሰላል የሚሸነፈው ባነሰ ጊዜ ነው፣ በ3.6%፣ በ1.8% እና በ0.9% ዑደቶች፤ ነገር ግን እያንዳንዱ ኪሳራ እጥፍ ይሆናል፤ በእያንዳንዱ ዑደት ብዙ ገንዘብ ጠረጴዛውን ያቋርጣል፤ ከእያንዳንዱ ውርርድ ደግሞ 2.70%።

   በአሜሪካ መንኮራኩር ላይ 2q = 40/38 ነው፤ አሃዞቹም −$29.24፣ −$36.04 እና −$43.20 ናቸው (Taylor, 2021)። ዜሮመንኮራኩርዜሮየትኛውም የእኩል ክፍያ፣ የደርዘን ወይም የዓምድ ውርርድ የማይሸፍነው ብቸኛው አረንጓዴ ኪስ፤ የካሲኖው ብልጫ ምንጭ። እንዲሁም፦ ነጠላ ዜሮ፣ 0።ሙሉውን ያንብቡ → በሌለበት ጨዋታ 2q = 1 ነው፤ መሰላሉ የቱንም ያህል ቢረዝም እያንዳንዱ ዑደት በአማካይ በትክክል ዜሮ ይሆናል።

2. «ታላቁ Martingale» ከመሸነፍ በኋላ የውርርድ መጠኑን እጥፍ አድርጎ አንድ አሃድገንዘብአሃድአንድ ስርዓት ወይም ተጫዋች የሚጠቀምበት መሠረታዊ የውርርድ መጠን። የውርርድ ማሳደጊያ ስርዓቶች በማንኛውም ጠረጴዛ ላይ እንዲሠሩ በአሃዶች ይገለጻሉ።ሙሉውን ያንብቡ → ይጨምራል፤ ስለዚህ የውርርድ መጠኖቹ 1፣ 3፣ 7፣ 15፣ 31 … ይሆናሉ። የመጀመሪያው ማሸነፍ በ1ኛው፣ በ2ኛው፣ በ3ኛው ወይም በkኛው ውርርድ ላይ ሲመጣ ምን ያህል በትርፍ ላይ ነዎት? በ$10 አሃድና በ$500 ከፍተኛ ገደብ ዑደት ምን ያህል ጊዜ ይሰበራል፣ አንድ ዑደትስ በአማካይ ምን ያስከፍላል?

   መፍትሔውን ያሳዩ

   መልስ በkኛው ውርርድ ላይ ያለ ማሸነፍ k አሃዶች ትርፍ ይተውልዎታል፦ +1፣ +2፣ +3 ወዘተ። በ$10 እና በ$500 ዑደቱ ከአምስት መሸነፎች በኋላ ይሰበራል፤ በ3.57% ዑደቶች፤ ውጤቱም −$570 ነው። በአማካይ አንድ ዑደት ከተወራረደው $85.73 $2.32 ያጣል፦ 2.70%።

   የkኛው የውርርድ መጠን 2ᵏ − 1 አሃዶች ነው፦ 1፣ 3፣ 7፣ 15፣ 31። የመጀመሪያዎቹ k − 1 የውርርድ መጠኖች ተደምረው 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 ይሆናሉ። በkኛው ውርርድ ላይ ያለ ማሸነፍ 2ᵏ − 1 ይከፍላል፤ ስለዚህ ዑደቱ (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k አሃዶች በትርፍ ያበቃል፦ ከማሸነፉ በፊት ለነበረው ለእያንዳንዱ መሸነፍ አንድ ተጨማሪ አሃድ።

   በ$10 አሃድ የውርርድ መጠኖቹ $10፣ $30፣ $70፣ $150 እና $310 ናቸው፤ ቀጣዩ፣ $630፣ ከ$500 ከፍተኛ ገደብ በላይ ነው። አምስት ተከታታይ መሸነፎች፣ (19/37)⁵ = 3.57%፣ 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570 ያስከፍላሉ።

   አማካይ፦ ማሸነፎቹ ለk = 1 እስከ 5 በ(19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 የመከሰት ዕድል $10 × k ያስገኛሉ፤ መሰበሩ ደግሞ በ3.57% የመከሰት ዕድል $570 ይወስዳል፤ በአንድ ላይ −$2.32። የተወራረደው ገንዘብ በአንድ ዑደት በአማካይ $85.73 ነው፤ 2.32/85.73 = 2.70%። በዚያው ጠረጴዛ ላይ ተራው Martingale ከስድስት መሸነፎች በኋላ ይሰበራል፣ በ1.83% ዑደቶች፤ ውጤቱም −$630 ነው፤ ከተወራረደው $64.20 ደግሞ $1.74 ያጣል፦ እንደገና 2.70%።

3. አንድ ተጫዋች ገደቡ $1,000 በሆነበት ጠረጴዛ ላይ በ$1 የመጀመሪያ ውርርድ በቀይ ላይ Martingale ለመጫወት ያቅዳል፤ ስለዚህ አሥር ውርርዶች ይቻላሉ፦ $1፣ $2፣ $4 እያለ እስከ $512። አንድ ዑደት አሥሩንም የሚያጣው ምን ያህል ጊዜ ነው፣ ያ በአማካይ ምን ያህል ጊዜ ይወስዳል፣ የ200 ውርርዶች ምሽትስ በዚያ መንገድ የሚያበቃው ምን ያህል ጊዜ ነው?

   መፍትሔውን ያሳዩ

   መልስ አንድ ዑደት አሥሩንም የሚያጣው ከ784 አንድ ጊዜ ገደማ ነው፤ ይህም $1,023 ያስከፍላል። ይህ በአማካይ ወደ 1,600 ውርርዶች ገደማ ነው፤ የ200 ውርርዶች ምሽትም በ11% ገደማ አጋጣሚዎች ግድግዳውን ይመታል። አንድ ዑደት አሁንም ከተወራረደው $11.31 በአማካይ $0.31 ያጣል፦ 2.70%።

   በቀይ ላይ የሚደረግ ውርርድ ዜሮውን ጨምሮ በ19/37 የመከሰት ዕድል ይሸነፋል። አሥር በተከታታይ፦ (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128፣ ከ784 1 ገደማ። 1 + 2 + 4 + … + 512 የውርርድ መጠኖች ተደምረው $1,023 ይሆናሉ።

   አንድ ዑደት በአማካይ 2.05 ውርርዶችን ይወስዳል፤ ስለዚህ 784 ዑደቶች ወደ 1,600 ውርርዶች ገደማ ይወስዳሉ። ሽክርክሪት በሽክርክሪት ሲቆጠር የአሥር መሸነፎች ተከታታይ ውጤት በ200 ውርርዶች ውስጥ የሆነ ቦታ ላይ በ11.3% አጋጣሚዎች ይከሰታል።

   በአደጋዎቹ መካከል ተጫዋቹ በአንድ ዑደት $1 ያሸንፋል፦ ከመጥፎው በፊት ወደ $783 ገደማ፣ ከዚያም −$1,023፣ በጠቅላላው ጊዜ ወደ −$240 ገደማ። በአንድ ዑደት፦ 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31። በአንድ ዑደት የተወራረደው ገንዘብ፦ 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31። እንዲሁም −0.31/11.31 = −2.70%።

   ከ$500 ገደብ ጋር የ$10 የመጀመሪያ ውርርድን፣ ስድስት ውርርዶችን፣ ያነጻጽሩ፦ ግድግዳው ከ55 ዑደቶች አንድ ጊዜ ይመጣል፤ የ200 ውርርዶች ምሽትም በ84% አጋጣሚዎች ያገኘዋል። ከፍ ያለ ገደብ ውድቀቱን ብርቅ እና ትልቅ ያደርገዋል እንጂ ርካሽ አያደርገውም።