ችግር፦ የልደት ቀን መንኮራኩር
አንድ ቁጥር እስኪደገም ስንት ሽክርክሪቶች ያስፈልጋሉ? ብዙ ሰዎች ከሚገምቱት እጅግ ያነሱ።
የልደት ቀን ችግር ባለ 37 ኪስመሣሪያኪስበሮተሩ ላይ ካሉት 37 ቁጥር ያላቸው ክፍሎች አንዱ። እንዲሁም፦ slot፣ cup።ሙሉውን ያንብቡ → መንኮራኩር ላይ፦ ከ8 ሽክርክሪቶች በኋላ ብቻ አንድ ቁጥር ቀድሞውኑ ሁለት ጊዜ የወጣበት ዕድል ከግማሽ በላይ ነው። ተጫዋቾች ድግግሞሾችን እንደ ንድፍ ያነቧቸዋል፤ እነሱ ግን የፍትሐዊ መንኮራኩር የሚጠበቅ ባሕሪ ናቸው።
ችግሩ
ፍትሐዊ የአውሮፓ መንኮራኩር ያሽከርክሩ። ቢያንስ ሁለት ሽክርክሪቶች ተመሳሳይ ቁጥር ያሳዩበት የመከሰት ዕድልሂሳብየመከሰት ዕድልየአንድ ውጤት የመከሰት ዕድል፣ ከ0 እስከ 1 ወይም ከ0% እስከ 100%። አንድ ቁጥር፦ 1/37 = 2.70%።ሙሉውን ያንብቡ → ከግማሽ እስኪበልጥ ስንት ሽክርክሪቶች ያስፈልጋሉ? አብዛኞቹ ተጫዋቾች የ37 ግማሽ የሆነውን 18 ወይም 19 አካባቢ ይገምታሉ። መልሱ 8 ነው።
መፍትሔው
ምንም ድግግሞሽ ያለመኖሩን የመከሰት ዕድል ያስሉና ከአንድ ይቀንሱ። ከk ሽክርክሪቶች በኋላ፣ p(ሁሉም የተለያዩ) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37)። ለk = 8፦ 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44፤ ስለዚህ p(አንዳች ድግግሞሽ) ≈ 0.56። ለk = 14 0.93 ነው፤ ለk = 20 0.996 ነው። ግምቱ የሚሳሳተው የሽክርክሪት ጥንዶች ብዛት እንደ k² ስለሚያድግና ማንኛውም ጥንድ ሊገጣጠም ስለሚችል ነው።
በጠረጴዛው ላይ ለምን አስፈላጊ ነው
የመጨረሻዎቹን 20 ቁጥሮች የሚያሳይ የውጤት ሰሌዳ ሁልጊዜ ማለት ይቻላል ቢያንስ አንድ ድግግሞሽ፣ ብዙውን ጊዜም ሁለት ወይም ሶስት ያሳያል። ተጫዋቾች «17 በአሥር ሽክርክሪቶች ሁለት ጊዜ ወጣ» ብለው ያያሉ፤ 17 ትኩስ ቁጥር ነው ብለውም ይደመድማሉ፤ የልደት ቀን ስሌቱ ግን በአሥር ሽክርክሪቶች ውስጥ ድግግሞሽ 74% ጊዜ እንደሚከሰትና የተደገመው ቁጥርም በዘፈቀደ እንደሆነ ይናገራል። ንድፉ እውነት ነው፤ ትርጉሙ ግን አይደለም።
ተከታዩ ችግር
አንድ የተወሰነ ቁጥር፣ ለምሳሌ 17፣ ሁለት ጊዜ እስኪወጣ ስንት ሽክርክሪቶች ያስፈልጋሉ? ይህ እጅግ ትልቅ መልስ ያለው የተለየ ጥያቄ ነው፦ የሚጠበቀው ቆይታ 74 ሽክርክሪቶች ነው፤ በ20 ሽክርክሪቶች ውስጥ ሁለት 17ዎች የመውጣታቸው የመከሰት ዕድልም 10% ገደማ ነው። በ«አንድ ቁጥር ይደገማል» (8 ሽክርክሪቶች) እና በ«ይህ ቁጥር ይደገማል» (74 ሽክርክሪቶች) መካከል ያለው ልዩነት ከኋላ በሚያስተውሉት ንድፍና አስቀድመው በሚሰጡት ትንበያ መካከል ያለው ልዩነት በሙሉ ነው።
ይሞክሩት
የማሳያ ጨዋታውን ለአሥር ሽክርክሪቶች ያስኪዱና ታሪኩን ይመልከቱ። ብዙውን ጊዜ ድግግሞሽ ይኖራል። እንደገና ያስኪዱት። የተደገመው ቁጥር የተለየ ይሆናል። ይህንን አሥር ጊዜ ያድርጉ፤ የልደት ቀን ችግሩንሂሳብየልደት ቀን ችግርሁለት ሰዎች ምናልባት የልደት ቀን እንዲጋሩ ስንት ሰዎች እንደሚያስፈልጉ፣ ወይም አንድ ቁጥር ምናልባት እንዲደገም ስንት ሽክርክሪቶች እንደሚያስፈልጉ። ባለ 37 ኪስ መንኮራኩር ላይ ከግማሽ በላይ ዕድል ለማግኘት 8 ሽክርክሪቶች በቂ ናቸው።ሙሉውን ያንብቡ → አይተዋል፤ አንድ ሺህ ጊዜ ያድርጉት (ሲሙሌተሮቹ ይችላሉ)፤ ለክተውታል።
ቀመር
ጥያቄዎች
በትክክል፣ ከ365 ቀናት ይልቅ በ37 ኪሶች። ለልደት ቀናት 23 ሰዎች 50% ይሰጣሉ፤ ለመንኮራኩሩ 8 ሽክርክሪቶች 56% ይሰጣሉ።
ከ19 ሽክርክሪቶች ገደማ በኋላ 50%። አሁንም የተለመደ ነው።
አያመለክትም። ከአንድ መንኮራኩር የተገኙ በሺዎች የሚቆጠሩ ሽክርክሪቶች ሊያመለክቱ ይችላሉ፤ አንድ ድግግሞሽ ግን ፈጽሞ አያመለክትም።
በሂሳብ መዝናናት
መጀመሪያ እራስዎ ይሞክሩ። እያንዳንዱ መፍትሔ ተደብቋል፤ ዝግጁ ሲሆኑ ይክፈቱት።
ከአሜሪካ መንኮራኩር አጠገብ ያለ የውጤት ሰሌዳ የመጨረሻዎቹን 16 ሽክርክሪቶች ያሳያል። በላዩ ላይ ምንም ቁጥር ሁለት ጊዜ ያለመታየቱ ዕድል ምን ያህል ነው?
መፍትሔውን ያሳዩ
መልስ 2.5% ገደማ፦ ከ40 ሰሌዳዎች በግምት 39ኙ ቢያንስ አንድ ድግግሞሽ ያሳያሉ።
በየሽክርክሪቱ ይሂዱ። የመጀመሪያው ሽክርክሪት ማንኛውም ሊሆን ይችላል። ሁለተኛው ከእሱ የተለየ መሆን አለበት፦ ከ38 37 ዕድሎች። ሶስተኛው ከሁለቱም የተለየ መሆን አለበት፦ ከ38 36። አሥራ ስድስተኛው ከአሥራ አምስት ቁጥሮች የተለየ መሆን አለበት፦ ከ38 23።
ያባዙ፦ 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246።
ብርቅ የሆነው ድግግሞሽ የሌለበት ሰሌዳ ነው። ድግግሞሽ ያለበት ሰሌዳ ስለ መንኮራኩሩ ምንም አይነግርም።
በአውሮፓ መንኮራኩር አሥር ሽክርክሪቶች ውስጥ 17 በትክክል አምስት ጊዜ የመውጣቱ ዕድል ምን ያህል ነው? የሆነ ቁጥር፣ የትኛውም ቁጥር፣ አምስት ወይም ከዚያ በላይ ጊዜ የመውጣቱስ? በአራት ሽክርክሪቶች ውስጥ የሆነ ቁጥር ቢያንስ ሶስት ጊዜ የመውጣቱስ?
መፍትሔውን ያሳዩ
መልስ 17 በትክክል አምስት ጊዜ፦ ከ315,576 1። የሆነ ቁጥር አምስት ወይም ከዚያ በላይ ጊዜ፦ ከ8,333 1 ገደማ። በአራት ሽክርክሪቶች የሆነ ቁጥር ሶስት ወይም ከዚያ በላይ ጊዜ፦ ከ349 1።
17 አምስት ጊዜ፦ ከአሥሩ ሽክርክሪቶች የትኞቹ አምስቱ እንደሆኑ ይምረጡ፣ 252 መንገዶች፤ እያንዳንዳቸው (1/37)⁵ × (36/37)⁵ ዕድል አላቸው። በአንድ ላይ ከ315,576 1።
የሆነ ቁጥር፦ ከ37ቱ ቁጥሮች እያንዳንዱ አምስት ወይም ከዚያ በላይ ጊዜ የመውጣት ዕድሉ ከ308,325 1 ነው፤ ይህም ከ308,325 37፣ ወይም ከ8,333 1 ይሰጣል። እያንዳንዳቸው አምስት ጊዜ የወጡ ሁለት ቁጥሮች ያሉበት ብርቅ ሁኔታ ሁለት ጊዜ ይቆጠራል፤ እሱን ማስወጣት ግን በዚህ ትክክለኛነት ምንም አይለውጥም።
በአራት ሽክርክሪቶች ሶስት ጊዜ፦ ለአንድ ቁጥር፣ ሊሆኑ ከሚችሉ 37⁴ ውጤቶች 4 × 36 + 1 = 145፤ ከ37ቱ ቁጥሮች ለየትኛውም፣ 145/37³ = ከ349 1።
ድርብ ዜሮመንኮራኩርዜሮየትኛውም የእኩል ክፍያ፣ የደርዘን ወይም የዓምድ ውርርድ የማይሸፍነው ብቸኛው አረንጓዴ ኪስ፤ የካሲኖው ብልጫ ምንጭ። እንዲሁም፦ ነጠላ ዜሮ፣ 0።ሙሉውን ያንብቡ → ላለው መንኮራኩር ተዛማጅ አሃዞቹ ከ359,275 1፣ ከ9,243 1 እና ከ368 1 ናቸው። በ«17» እና በ«የሆነ ቁጥር» መካከል ያለው ልዩነት እንደገና የልደት ቀን ችግርሂሳብየልደት ቀን ችግርሁለት ሰዎች ምናልባት የልደት ቀን እንዲጋሩ ስንት ሰዎች እንደሚያስፈልጉ፣ ወይም አንድ ቁጥር ምናልባት እንዲደገም ስንት ሽክርክሪቶች እንደሚያስፈልጉ። ባለ 37 ኪስ መንኮራኩር ላይ ከግማሽ በላይ ዕድል ለማግኘት 8 ሽክርክሪቶች በቂ ናቸው።ሙሉውን ያንብቡ → ነው፦ የሚያስገርሙ 37 መንገዶች አሉ።
ለመዝናኛ
አንድ ነገር ቀደም ብሎ ይደገማል። ያ ነገር በዘፈቀደ ነው።
ምንጮች
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”፣ የሩሌት ጥያቄዎች።