የሩሌት ቤተ ሙከራ · ቤተ ሙከራ · ዳራ · 7 ደቂቃ

የሩሌት ኮምፒውተሮች

ኮምፒውተር የኳሱን ጊዜ እንዴት እንደሚለካ፣ የመጀመሪያዎቹን ማን እንደሠራቸው፣ እና ምን ያህል ትክክለኛ መሆን እንዳለበት።

አጭር መልስ

የሩሌት ኮምፒውተር በሽክርክሪቱ የመጀመሪያ ሰከንዶች የኳሱንና የሮተሩን ጊዜ ይለካል፤ ኳሱ ሊያርፍበት የሚገባውን የመንኮራኩሩን ክፍልም ይጠቁማል። Edward Thorp እና Claude Shannon የመጀመሪያውን በ1961 ሠሩ፤ Eudaemons ደግሞ ከ1976 ጀምሮ ዲጂታል ኮምፒውተሮችን ሠሩ። ዘዴው ኳሱ ከተወረወረ በኋላ የሚቀበሉ ውርርዶችን ይፈልጋል፦ የቀጥታ ስቱዲዮዎች አሁን ውርርድን ኳሱ በሚወረወርበት ቅጽበት ይዘጋሉ፤ Nevada ደግሞ ከ1985 ጀምሮ እንዲህ ያሉ መሣሪያዎችን ከልክሏል።

መጀመሪያ የተሠራው
1961፣ Thorp እና Shannon
የሚለካው
የኳስና የሮተር ጊዜ
ጥቅም የሌለው ስህተቱ ከዚህ ሲበልጥ
17 ኪሶች ገደማ
በNevada የተከለከለው
ከ1985 ጀምሮ

የመጀመሪያው የሩሌት ኮምፒውተር ስርዓት እንዴት እንደተሠራ

ሐሳቡ ወደ Edward Thorp የመጣው በ1955 የጸደይ ወቅት፣ በUCLA የፊዚክስ የድኅረ ምረቃ ተማሪ ሳለ ነበር፦ ያደላ ሊሆን የማይችል ያህል በጥራት የተሠራ መንኮራኩር ኳሱንመሣሪያኳስበመንገዱ ላይ ከሮተሩ በተቃራኒ የሚወረወር ትንሽ ኳስ። ዘመናዊ ኳሶች ከivorine ወይም ከTeflon የተሠሩ፣ 18–21 ሚ.ሜ ናቸው።ሙሉውን ያንብቡ → እንደ ፕላኔት በሚተነበይ ሁኔታ ማዞር አለበት። ርካሽ የግማሽ መጠን መንኮራኩርን የሩጫ ሰዓት በምስሉ ውስጥ አድርጎ ቀረጸው፤ ለመተንበይ የማይቻል ያህል ያልተስተካከለ ሆኖ አገኘው። በዲሴምበር 1958 ወደ Nevada ያደረገው ጉዞ ደግሞ የካሲኖ መንኮራኩሮች ያለችግር እንደሚሽከረከሩ አሳየው። ከዚያ በኋላ ብላክጃክ ቦታውን ያዘ። በኖቬምበር 1960 በMIT፣ ካርድ ስለመቁጠር ያዘጋጀውን ጽሑፍ ወደ National Academy of Sciences እንዲልክለት Claude Shannonን ጠየቀው፤ በስብሰባው መጨረሻ Shannon ሌላ ምን እየሠራ እንደሆነ ጠየቀው፤ የሩሌት ፕሮጀክቱም ወደ Shannon ምድር ቤት ተዛወረ። ከReno ደረጃውን የጠበቀ መንኮራኩር በ$1,500 ገዝተው በአሮጌ የድንጋይ ሰሌዳ ቢሊያርድ ጠረጴዛ ላይ አስቀመጡት፤ የኳሱንም ጊዜ በስትሮብ ብርሃንና እስከ አንድ መቶኛ ሰከንድ በሚነበብ ሰዓት ለኩ። በልምምድ የጊዜ መለኪያ ስህተታቸው ከ0.03 ገደማ ወደ 0.01 ሰከንድ ወረደ። በጁን 1961 ኮምፒውተሩ አሥራ ሁለት ትራንዚስተሮች ነበሩት፤ መጠኑም የሲጋራ ፓኬት ያህል ነበር፦ በጫማው ውስጥ ያለና በእግሩ አውራ ጣት የሚሠራ ማብሪያ የሮተሩንመሣሪያሮተርኪሶቹን የሚይዘው የመንኮራኩሩ የሚሽከረከር ክፍል።ሙሉውን ያንብቡ → እና የኳሱን ጊዜ ይለካ ነበር፤ በአንድ ጆሮ የሚሰማ ድምፅ ደግሞ ከመንኮራኩሩ ስምንት ክፍሎችመንኮራኩርክፍልበመንኮራኩሩ ላይ ያሉ ተከታታይ ኪሶች ቅስት፤ በውርርድ ሰሌዳው ላይ ካለ ቡድን የተለየ።ሙሉውን ያንብቡ → አንዱን ይጠቁም ነበር። በዚያው በጋ በLas Vegas፣ Shannon በመንኮራኩሩ አጠገብ ጊዜ እየለካ እንደማንኛውም የስርዓት ተጫዋች ቁጥሮችን ይጽፍ ነበር፤ Thorp ደግሞ በጠረጴዛው ሩቅ ጫፍ ላይ በአሥር ሳንቲም ብቻ ይወራረድ ነበር። ትንበያዎቹ ጸኑ፤ ወደ ጆሮ ማዳመጫው የሚሄዱት እንደ ፀጉር የቀጠኑ ሽቦዎች ግን ደጋግመው ይበጠሱ ነበር፤ አንድ ጊዜም ከThorp አጠገብ የነበረች ሴት ከጆሮው ብቅ ያለውን ድምፅ ማጉያ በድንጋጤ ትኩር ብላ ተመለከተች። በቁም ነገር ተወራርደው አያውቁም። Thorp የሩሌት ኮምፒውተር ስርዓቱን በ1966 ይፋ አደረገ፤ ዝርዝሩንም በ1979 እና በ1984 አሳተመ።

በShannon ምድር ቤት፣ በስትሮብ ብርሃን ሥር፣ በድንጋይ ሰሌዳ ቢሊያርድ ጠረጴዛ ላይ ያለ ደረጃውን የጠበቀ መንኮራኩር።

የመጀመሪያዎቹ ዲጂታል ኮምፒውተሮች

የThorp እና Shannon ማሽን አናሎግ ነበር፦ ወረዳው ራሱ ፕሮግራሙ ነበር፤ ዘዴውን መቀየር ማለትም ሽቦውን እንደገና መዘርጋት ማለት ነበር። ማይክሮፕሮሰሰሩ ይህን ገደብ አስወገደ። የCaltech ተማሪ የነበረው Alan Lewis በ1972 በቤት የሠራውን ዲጂታል ኮምፒውተር በካሜራ ቦርሳ ውስጥ አድርጎ በLas Vegas ወደሚገኘው Circus Circus ወሰደ፤ ከጠረጴዛዎቹ በላይ ካለ በረንዳ ሆኖ የመንኮራኩሮቹን ጊዜ ለካ፤ ትንበያዎቹንም ከታች ላለ አጋሩ በሬዲዮ አስተላለፈ። ሠራ፤ ግን ምንም ገንዘብ አላስገኘም፤ በኋላም የመንኮራኩሩን ማዘንበል ከስሌቱ እንደተወ ተረዳ። ከ1976 ጀምሮ በSanta Cruz የነበሩ የፊዚክስ ተማሪዎች ቡድን፣ Eudaemons፣ ሥራውን በጥልቀት ሠሩት። የካሲኖ መንኮራኩር ገዝተው ኳሱን፣ ሮተሩን፣ ማዘንበሉንና ዝላዩን ለኩ፤ ተጫዋቹ ከመወራረዱ በፊት ለሃያ ደቂቃ ገደማ የእግር ጣት ማብሪያዎችን በመጫን ለእያንዳንዱ መንኮራኩር የሚያስተካክላቸው አምስት ቅንብሮች ያሏቸውን እኩልታዎች ጻፉ። ኮምፒውተራቸው ሽክርክሪቱ ከጀመረ ጥቂት ሰከንዶች በኋላ ከስምንት ክፍሎች አንዱን ይጠቁም ነበር። በጃንዋሪ 1978 በእውነተኛ ጠረጴዛ ላይ 25% ብለው የገመቱትን ብልጫ ሰጠ፤ በሰውነት ላይ የታሰረውና በኋላም በጫማ ውስጥ የተገጠመው መሣሪያ ግን ከፊዚክሱ እጅግ በበለጠ ጊዜ ይበላሽ ነበር («The Eudaemons» የሚለውን ይመልከቱ)።

Alan Lewis ከበረንዳው ሆኖ የመንኮራኩሮቹን ጊዜ ለካ፤ ትንበያዎቹንም ከታች ላለ አጋሩ በሬዲዮ አስተላለፈ።

ዘግይቶ መወራረድ ለምን አስፈላጊ ነበር

ካሲኖ ኳሱ ከተወረወረ በኋላ ውርርድ ባለመቀበል ትንበያን ሙሉ በሙሉ ማስቆም ይችላል። Thorp ይህን የሚያደርግ ካሲኖ ከሞላ ጎደል እንደሌለ አገኘ፦ በReno፣ በLas Vegas፣ በLondon፣ በMonte Carlo፣ በNice፣ በVenice እና በፖርቶ ሪኮ የተለመደው አሠራር ኳሱ ከመውረዱ አንድ ወይም ሁለት ሙሉ ዙረት በፊት «ተጨማሪ ውርርድ የለምአሠራርተጨማሪ ውርርድ የለምውርርድን የሚዘጋው የአከፋፋዩ ጥሪ (ወይም በማያ ገጽ ላይ የሚታየው መልዕክት)። ከዚያ በኋላ ቺፖች ሊቀመጡ፣ ሊንቀሳቀሱ ወይም ሊነሱ አይችሉም።ሙሉውን ያንብቡ →» ብሎ ማወጅ ነበር። ከEudaemons አንስቶ እስከ Ritz ቡድን በሬስትራክጠረጴዛሬስትራክበቀጥታና በኤሌክትሮኒክ የውርርድ ሰሌዳዎች ላይ ቁጥሮቹን በመንኮራኩሩ ቅደም ተከተል የሚያሳይ ሞላላ ሰቅ፤ የጎረቤት ቁጥሮችንና የክፍል ውርርዶችን በአንድ ንክኪ ለማስቀመጥ ያገለግላል።ሙሉውን ያንብቡ → ላይ ያደረጋቸው የዘገዩ ውርርዶች ድረስ፣ ከዚያ ወዲህ የነበረ እያንዳንዱ የትንበያ ዘዴ የሚያስፈልገው ይህ የጊዜ ክፍተት ነው። Nevada በሜይ 1985 የትንበያ መሣሪያዎችን ሕገ-ወጥ አደረገ፤ የቀጥታ ስቱዲዮዎችም አሁን ውርርድን ኳሱ በሚወረወርበት ቅጽበት ይዘጋሉ።

ካሲኖዎች እንዴት መልሰው ተዋጉ

ውርርዶች ኳሱ ከተወረወረ በኋላም ይቀበሉ በነበረባቸው ዓመታት፣ ካሲኖዎች የሚጠረጠሩ ተጫዋቾችን የተዋጉት በአከፋፋዩ በኩል ነበር። በ1966 በNice ስለነበሩት የNorman Leigh የስርዓት ተጫዋቾች እና ስለ ኋለኞቹ የትንበያ ቡድኖች የሚወጡ ዘገባዎች በእያንዳንዱ ሽክርክሪት አዲስ ክሩፒየርሰዎችክሩፒየርበሩሌት ጠረጴዛ ላይ ያለ አከፋፋይ።ሙሉውን ያንብቡ →፣ የተቀየረ ኳስ፣ አጭር ወይም ፈጣን ሽክርክሪቶች፣ በካሲኖው የራሱ ሰዎች የተጨናነቀ ጠረጴዛ እና በመጨረሻም የተዘጋ ጠረጴዛን ይገልጻሉ። እነዚህ ታሪኮች ከተጫዋቾቹ ወገን የመጡ ሲሆኑ ለማረጋገጥ አስቸጋሪ ናቸው (Goldman, 2007)። ስልቶቹ ግን ትርጉም ይሰጣሉ፦ አጭር ወይም ፈጣን ሽክርክሪት ኳሱን ወደ አንድ ኪስመሣሪያኪስበሮተሩ ላይ ካሉት 37 ቁጥር ያላቸው ክፍሎች አንዱ። እንዲሁም፦ slot፣ cup።ሙሉውን ያንብቡ → ማነጣጠር አይችልም፤ ተንባዩ የሚለካውን ጊዜ ግን ያዛባል።

አዲስ ክሩፒየር፣ የተቀየረ ኳስ፣ እና በካሲኖው የራሱ ሰዎች የተጨናነቀ ጠረጴዛ።

የሩሌት አከፋፋዮች ቁጥር ታልመው መምታት ይችላሉ? የተሳሳተው እምነት

ትንበያው ምን ያህል ጥሩ መሆን አለበት

Thorp (1984) ስህተቱ የደወል ቅርጽ ያለው ኩርባ ሲከተል አንድ ትንበያ ምን ያህል ዋጋ እንዳለው አሰላ፦ በተለመደ ሽክርክሪት የተተነበየው ኪስ በአንዱ ወይም በሌላው አቅጣጫ σ ኪሶች ያህል ይሳሳታል። በተተነበየው ቁጥር ብቻ፣ ወይም በእሱና በእያንዳንዱ ጎን ባሉት ሁለት ጎረቤት ቁጥሮችውርርድጎረቤት ቁጥሮችአንድ ቁጥር እና በመንኮራኩሩ ላይ በሁለቱም ጎኑ ያሉት ሁለት ሁለት ኪሶች፤ አምስት ነጠላ ቁጥር ቺፖች።ሙሉውን ያንብቡ → ላይ ይወራረዱ፤ ብልጫውን የሚወስነው σ ብቻ ነው። ፍጹም ትንበያ እያንዳንዱን ነጠላ ቁጥር ውርርድውርርድነጠላ ቁጥር ውርርድአንድ ቁጥር ብቻ፤ 35:1 ይከፍላል።ሙሉውን ያንብቡ → ያሸንፋል። Thorp እና Shannon በደረሱበት ትክክለኛነት፣ ማለትም σ = 10 ኪሶች ሲሆን፣ ነጠላ ቁጥር ውርርድ +44% ገደማ ያስገኛል፤ Thorp ለመሣሪያቸው የሰጠው አሃዝ ይህ ነው፤ የ1998 ዘገባው ደግሞ ይህን በመንኮራኩሩ በጣም በተመረጠው አንድ ስምንተኛ ላይ ያደርገዋል። ስህተቱ እያደገ ሲሄድ ብልጫው በፍጥነት ይወርዳል፤ በአውሮፓ መንኮራኩር ላይ በ17 ኪሶች ገደማ፣ በአሜሪካ መንኮራኩር ላይ ደግሞ በ16 ይጠፋል፤ ያኔ ትንበያው በመንኮራኩሩ ግማሽ ያህል ይስታል። የThorp የራሱ የስህተት ስሌት ይህ ገደብ ለምን ቅርብ እንደሆነ ያሳያል፦ የሮተሩንና የኳሱን ጊዜ ከመለካት የሚመጡ የ1.4 እና የ5.5 ኪሶች የተለያዩ ስህተቶች፣ ኳሱ በአቅጣጫ ቀያሪዎቹመሣሪያአቅጣጫ ቀያሪበጠርዙ ላይ ያሉ፣ የሚወድቀውን ኳስ የሚበትኑ የብረት እንቅፋቶች አንዱ። እንዲሁም፦ canoe፣ diamond፣ pin።ሙሉውን ያንብቡ → ላይ ሲወርድ የሚመጣው 7 እና በኪሶቹ ውስጥ ካለው ዝላይ የሚመጣው 6 ተደምረው 10.8 ገደማ ይሆናሉ።

የተለመደ ስህተት σ፣ ኪሶችአንድ ቁጥርአምስት ጎረቤት ቁጥሮች
0+3,500%+620%
2+611%+468%
4+258%+237%
6+139%+133%
8+79%+77%
10+44%+42%
12+22%+21%
14+8.8%+8.5%
16+2.2%+2.0%
17+0.3%+0.2%
18−0.9%−0.9%
20−2.1%−2.1%
ትንበያ የለም−2.70%−2.70%
ለ38 ኪሶች የተዘጋጀውን የThorp ሰንጠረዥ ለ37 ኪስ መንኮራኩር እኛ እንደገና ያሰላነው፦ ስህተቱ መደበኛ ስርጭት ያለው፣ በመንኮራኩሩ ዙሪያ የተጠቀለለ ሲሆን፣ አንድ ኪስ የአንድ አሃድ ስፋት አለው።

የፍጥነት መቀነስ

ጥያቄዎች

ለRNG ጠረጴዛዎች ተንባይ መሥራት እችላለሁ?

አይችሉም። ኳስ የለም። ቁጥሩ ከአኒሜሽኑ በፊት በሶፍትዌር ይወጣል።

ኳሱ መወርወሩ የሚታይባቸውና ውርርዱ ዘግይቶ የሚዘጋባቸው የቀጥታ ጠረጴዛዎችስ?

ለጊዜ መለካት የተጋለጡ ይሆናሉ፤ አንዳቸውም በዚያ መንገድ የማይካሄዱትም ለዚህ ነው።

በሂሳብ መዝናናት

መጀመሪያ እራስዎ ይሞክሩ። እያንዳንዱ መፍትሔ ተደብቋል፤ ዝግጁ ሲሆኑ ይክፈቱት።

  1. የጎረቤት ቁጥሮችውርርድጎረቤት ቁጥሮችአንድ ቁጥር እና በመንኮራኩሩ ላይ በሁለቱም ጎኑ ያሉት ሁለት ሁለት ኪሶች፤ አምስት ነጠላ ቁጥር ቺፖች።ሙሉውን ያንብቡ → ጥሪ በአንድ ቁጥር ላይ እና በመንኮራኩሩ ላይ በግራና በቀኙ ባሉት ሁለት ሁለት ኪሶችመሣሪያኪስበሮተሩ ላይ ካሉት 37 ቁጥር ያላቸው ክፍሎች አንዱ። እንዲሁም፦ slot፣ cup።ሙሉውን ያንብቡ → ላይ አንድ አንድ ቺፕገንዘብቺፕቋሚ መጠንን የሚወክል፣ ውርርድ ለማድረግ በውርርድ ሰሌዳው ላይ የሚቀመጥ ምልክት። እንዲሁም፦ check።ሙሉውን ያንብቡ → ያስቀምጣል፦ አምስት ቺፖች። የእኩልነት ነጥብ ላይ ለመድረስ ትንበያው ምን ያህል ጊዜ በእነዚያ አምስት ኪሶች ውስጥ መውደቅ አለበት? ከአምስት አንድ ጊዜ ትክክል ከሆነስ ምን ያስገኛል?

    መፍትሔውን ያሳዩ

    መልስ የእኩልነት ነጥብ ላይ የሚደርሰው ከ36 በ5፣ 13.9% ነው፤ በዕድል ብቻ ደግሞ 13.5% ነው። ከአምስት አንድ ጊዜ ትክክል ከሆነ ከተወራረደው 44% የበለጠ ይመልሳል።

    ጥሪው ከተሳካ አንድ ቺፕ 35 ለ 1 ያሸንፍና ከአሸናፊነቱ ጋር ይመለሳል፣ 36 ቺፖች፤ ሌሎቹ አራቱ ደግሞ ይጠፋሉ። ስለዚህ አንድ ስኬት ለተወራረዱት 5 ቺፖች 36 ይመልሳል፤ ጥሪው ከ36 5 ጊዜ፣ 13.9%፣ ከተሳካ የእኩልነት ነጥብ ላይ ይደርሳል። በዕድል ብቻ ከ37 5 ጊዜ፣ 13.5%፣ ይሳካል። ከግማሽ የመቶኛ ነጥብ ያነሰው ያ ትንሽ ልዩነት ሙሉው 2.70% የሚመጣበት ነው።

    ከአምስት አንድ ስኬት ሲሆን ለእያንዳንዱ 5 የተወራረዱ ቺፖች 0.2 × 36 = 7.2 ቺፖች ይመለሳሉ፣ +44%። ከአራት አንድ ሲሆን +80%።

    በትክክለኝነት ላይ ያለች ትንሽ መሻሻል ያን ያህል ዋጋ ያላት ለዚህ ነው፤ ካሲኖዎችም በከፍተኛ የውርርድ መጠኖች በቃል የሚነገሩ ውርርዶችንጠረጴዛበቃል የሚነገር ውርርድበእጅ ከመቀመጥ ይልቅ ለአከፋፋዩ የሚነገር ውርርድ፤ አብዛኛውን ጊዜ እንደ voisins ወይም tiers ያለ የመንኮራኩር ክፍል ውርርድ። እንዲሁም «የሚታወጅ ውርርድ»።ሙሉውን ያንብቡ → ቀደም ብለው የሚዘጉት ለዚህ ነው፦ ያ ትንሽ ልዩነት የካሲኖው ሙሉ ትርፍ ህዳግ ነው። የ2004ቱ የRitz ተጫዋቾች በዚህ መንገድ እንደተወራረዱ ይነገራል።

  2. Thorp በትንበያው ውስጥ አራት ነጻ የሆኑ ስህተቶችን በኪሶች ዘርዝሯል፦ ሮተሩንመሣሪያሮተርኪሶቹን የሚይዘው የመንኮራኩሩ የሚሽከረከር ክፍል።ሙሉውን ያንብቡ → ጊዜ ከመለካት 1.4፣ ኳሱንመሣሪያኳስበመንገዱ ላይ ከሮተሩ በተቃራኒ የሚወረወር ትንሽ ኳስ። ዘመናዊ ኳሶች ከivorine ወይም ከTeflon የተሠሩ፣ 18–21 ሚ.ሜ ናቸው።ሙሉውን ያንብቡ → ጊዜ ከመለካት 5.5፣ ኳሱ በአቅጣጫ ቀያሪዎቹመሣሪያአቅጣጫ ቀያሪበጠርዙ ላይ ያሉ፣ የሚወድቀውን ኳስ የሚበትኑ የብረት እንቅፋቶች አንዱ። እንዲሁም፦ canoe፣ diamond፣ pin።ሙሉውን ያንብቡ → ላይ ከሚያደርገው ውድቀት 7፣ በኪሶቹ ውስጥ ካለው መንጠር ደግሞ 6። ጠቅላላው ምን ያህል ነው፣ ሁለቱ የጊዜ መለኪያ ስህተቶችስ ምን ያህል ይጨምራሉ?

    መፍትሔውን ያሳዩ

    መልስ በአጠቃላይ ወደ 10.8 ኪሶች ገደማ። የጊዜ መለኪያ ስህተቶቹ ባይኖሩ 9.2 ይሆን ነበር፤ ስለዚህ ሁለቱ የጊዜ መለኪያዎች የሚጨምሩት 1.6 ብቻ ነው።

    ነጻ የሆኑ ስህተቶች በቀጥታ አይደመሩም፤ የሚደመሩት ካሬዎቻቸው ናቸው። የጠቅላላው የተለመደ መጠን የካሬዎቹ ድምር ካሬ ሥር ነው፦ 1.4² + 5.5² + 7² + 6² = 1.96 + 30.25 + 49 + 36 = 117.2፣ √117.2 ≈ 10.8።

    ሁለቱ የጊዜ መለኪያ ስህተቶች ከሌሉ፦ √(49 + 36) = √85 ≈ 9.2።

    የ10.8 ኪሶች ጠቅላላ በዚህ ገጽ ላይ ባለው ሰንጠረዥ ውስጥ ካለው የ17 ኪሶች ገደብ በታች ነው፤ በአንድ ቁጥር ላይም ወደ +34% ገደማ ዋጋ አለው። Thorp ያገኘው ትምህርት፦ በአቅጣጫ ቀያሪዎቹ ላይ ያለው ውድቀት ትልቁ ስህተት ከሆነ በኋላ የተሻለ የጊዜ መለኪያ የሚያስገኘው ጥቂት ነው።

ለመዝናኛ

ፊዚክሱ ይሠራል። የውርርድ ጊዜው ግን ተዘጋ።

ፊዚክሱ ይሠራል። የውርርድ ጊዜው ግን ተዘጋ።

ምንጮች

  1. Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.” Review of the International Statistical Institute 37(3)፣ 1969።
  2. Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling. Gambling Times / Lyle Stuart፣ 1984።
  3. Thorp, E. O. “The invention of the first wearable computer.” Second International Symposium on Wearable Computers፣ IEEE፣ 1998።
  4. Bass, T. A. The Eudaemonic Pie. Houghton Mifflin፣ 1985።
  5. Small, M. & Tse, C. K. “Predicting the outcome of roulette.” Chaos 22(3), 2012.
  6. Goldman, N. Great Gambling Scams. John Blake፣ 2007።
  7. Nevada Revised Statutes, chapter 465. ክፍል 465.075፣ የጨዋታን ውጤት ለመተንበይ መሣሪያ መጠቀም (1985)።
የተገመገመው 2026-09-28ሞዴል፦ የአውሮፓ፣ ነጠላ ዜሮዘዴ ↗ምንጮች ↗