የKelly መስፈርት እና ሩሌት
የKelly መስፈርት ብልጫ ያለው ተወራራጅ ምን ያህል መወራረድ እንዳለበት ይነግረዋል። ለሩሌት ግልጽ መልስ ይሰጣል፦ ምንም።
የKelly የውርርድ መጠን = ብልጫ / የዕድል ጥምርታ። ብልጫው አሉታዊ ሲሆን ቀመሩ አሉታዊ ክፍልፋይ ይመልሳል፤ ይህም አይወራረዱ ማለት ነው። መስፈርቱ ግን ያደላ መንኮራኩርን የሚጠቀሙ ተጫዋቾች ውርርዶቻቸውን ለምን እንደዚያ እንደመጠኑ፣ ሌሎች ሁሉ ደግሞ ለምን በበጀት መመጠን እንዳለባቸው ለመረዳት አሁንም ጠቃሚ ነው።
መስፈርቱ
John Kelly (1956) የታወቀ ብልጫ ያለው ቁማርተኛ የጨዋታ ገንዘቡንገንዘብየጨዋታ ገንዘብለጨዋታ የተመደበው ጠቅላላ ገንዘብ። የጨዋታ ገንዘብ አስተዳደር ማለት ከዚህ ውስጥ በእያንዳንዱ ውርርድና በእያንዳንዱ የጨዋታ ክፍለ ጊዜ ምን ያህሉን አደጋ ላይ እንደሚጥሉ መወሰን ነው።ሙሉውን ያንብቡ → የረጅም ጊዜ እድገት ከፍ ለማድረግ ውርርዶቹን እንዴት መመጠን እንዳለበት ጠየቀ። b ለ 1 ለሚከፍል፣ የማሸነፍ የመከሰት ዕድሉሂሳብየመከሰት ዕድልየአንድ ውጤት የመከሰት ዕድል፣ ከ0 እስከ 1 ወይም ከ0% እስከ 100%። አንድ ቁጥር፦ 1/37 = 2.70%።ሙሉውን ያንብቡ → p፣ የመሸነፍ የመከሰት ዕድሉ ደግሞ q = 1 − p ለሆነ ውርርድ መልሱ የጨዋታ ገንዘቡን f* = (bp − q) / b ክፍልፋይ መወራረድ ነው። አዎንታዊ f* ያንን ክፍልፋይ ይወራረዱ ማለት ነው፤ ዜሮ ወይም አሉታዊ ከሆነ አይወራረዱ ማለት ነው። Kelly በBell Labs ይሠራ ነበር፤ «A new interpretation of information rate» የተሰኘው ጽሑፉም ችግሩን በClaude Shannon የመረጃ ንድፈ ሐሳብ ውስጥ አስቀመጠው፦ በፍትሐዊ የዕድል ጥምርታ፣ በጫጫታ ባለው መስመር ጥቆማዎችን የሚያገኝ ቁማርተኛ የጨዋታ ገንዘቡን ማሳደግ የሚችለው ቢበዛ መስመሩ መረጃ በሚያስተላልፍበት ፍጥነት ነው። በ1961 Leo Breiman የKelly ውርርድ በረጅም ጊዜ ከማንኛውም በመሠረቱ የተለየ ስልት በላይ ትርፍ ላይ እንደሚያበቃ፣ እንዲሁም የተቀመጠ ግብን በአጭሩ ጊዜ ገደማ እንደሚደርስ አረጋገጠ።
የKelly ውርርድ በሩሌት
ለቀይውርርድቀይበ18ቱ ቀይ ቁጥሮች ላይ የሚደረግ እኩል ክፍያ ውርርድ። በፈረንሳይኛ፦ rouge።ሙሉውን ያንብቡ →፦ b = 1፣ p = 18/37፣ q = 19/37፤ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37። ለነጠላ ቁጥር ውርርድውርርድነጠላ ቁጥር ውርርድአንድ ቁጥር ብቻ፤ 35:1 ይከፍላል።ሙሉውን ያንብቡ →፦ b = 35፣ p = 1/37፣ q = 36/37፤ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295። እያንዳንዱ ውርርድ አሉታዊ ብልጫ ስላለው እያንዳንዱ መደበኛ ውርርድ አሉታዊ የKelly ክፍልፋይ ይሰጣል፤ ለእድገት የተሻለው የውርርድ መጠንም ዜሮ ነው። በሩሌት የKelly ውርርድ የካሲኖው ብልጫ ገጹ የሚለውን በቀመር የመግለጽ መንገድ ነው፦ አሉታዊ የሚጠበቅ እሴት ያለው ውርርድ የጨዋታ ገንዘብን የሚያሳድግበት ምንም መጠን የለም።
Kelly በእርግጥ የሠራበት
ያደላ መንኮራኩርን የሚጠቀሙ ተጫዋቾች ብልጫም የመመጠን ችግርም ነበራቸው። Jagger፣ የGarcía-Pelayo ቤተሰብ እና የEudaemons ቡድን ሁሉም በለኩት ብልጫ ላይ ምን ያህል እንደሚወራረዱ መወሰን ነበረባቸው፤ ዝቅ አድርጎ መወራረድ ብልጫውን ያባክናል፤ ከመጠን በላይ መወራረድ ደግሞ ብልጫው ከመታየቱ በፊት ገንዘብን ሙሉ በሙሉ የማጣት ስጋትን ያመጣል። ከ30 ሽክርክሪቶች 1 ጊዜ ለሚወጣ ኪስመሣሪያኪስበሮተሩ ላይ ካሉት 37 ቁጥር ያላቸው ክፍሎች አንዱ። እንዲሁም፦ slot፣ cup።ሙሉውን ያንብቡ → Kelly በእያንዳንዱ ሽክርክሪት የጨዋታ ገንዘቡን 0.57% በዚያ ቁጥር ላይ ይወራረዱ ይላል፦ በ$10,000፣ በሽክርክሪት $57 ገደማ፤ የተለመደው እድገት በሽክርክሪት 0.054% ገደማ ወይም በ1,000 ሽክርክሪቶች ×1.7 ነው። አማካዩ ትርፍ የዚያ እጥፍ፣ በሽክርክሪት 0.11% ነው፤ Kelly ግን ጥቂት እድለኛ ተከታታይ ውጤቶች የሚያሳብጡትን አማካይ የጨዋታ ገንዘብ ሳይሆን የተለመደውን የጨዋታ ገንዘብ ነው ዒላማ የሚያደርገው። የብልጫው ግምት እርግጠኛ ስላልሆነ ግማሽ-Kelly የተለመደው ተግባራዊ ምርጫ ነው።
የተለመደውና አማካዩ
በተለመደው የጨዋታ ገንዘብና በአማካዩ መካከል ያለው ልዩነት ሰፊ ነው። ከ25 ሽክርክሪቶች 1 ጊዜ የሚወጣ ኪስ ይውሰዱ፤ ይህ 44% ብልጫ ሲሆን Thorp ለመሣሪያው የሰጠው አሃዝ ነው። Kelly በእሱ ላይ የጨዋታ ገንዘቡን 1.26% ይወራረዳል። ከ1,000 ሽክርክሪቶች በኋላ የተለመደው የጨዋታ ገንዘብ 11.5 እጥፍ ገደማ ያድጋል፤ በጥቂት በጣም እድለኛ ተከታታይ ውጤቶች ወደ ላይ የሚጎተተው አማካዩ ደግሞ 249 እጥፍ ገደማ ያድጋል። ከKelly በላይ መወራረድ አማካዩን ከፍ ያደርጋል፣ የተለመደውን ውጤት ደግሞ ዝቅ ያደርጋል፦ በKelly የውርርድ መጠን እጥፍ የተለመደው የጨዋታ ገንዘብ የሚያድገው እጥፍ ብቻ ነው፤ በKelly የውርርድ መጠን ሁለት ተኩል እጥፍ ደግሞ ይቀንሳል፤ ምንም እንኳ እያንዳንዱ ውርርድ አሁንም 44% ብልጫ ቢኖረውም። ዝቅ አድርጎ መወራረድ የሚያስከፍለው ትንሽ ነው፦ ግማሹ የውርርድ መጠን የእድገቱን ሶስት አራተኛ ገደማ ይይዛል።
ብልጫው ግምት ሲሆን
Kelly ብልጫው የታወቀ እንደሆነ ይገምታል። በጠረጴዛው ላይ ግን የሚገመት ነው፤ ግምቱም ብዙውን ጊዜ ከልክ በላይ ከፍ ያለ ነው። በThorp 44% ላይ የተገነባው የEpstein ምሳሌ ባለ ድርብ ዜሮመንኮራኩርዜሮየትኛውም የእኩል ክፍያ፣ የደርዘን ወይም የዓምድ ውርርድ የማይሸፍነው ብቸኛው አረንጓዴ ኪስ፤ የካሲኖው ብልጫ ምንጭ። እንዲሁም፦ ነጠላ ዜሮ፣ 0።ሙሉውን ያንብቡ → መንኮራኩር በ1,225 ሽክርክሪቶች 49 ጊዜ የወጣ ቁጥር ነው፦ ከ25 1 ጊዜ፣ 44% ብልጫ፣ 1.26% የKelly የውርርድ መጠን። ፍትሐዊ ባለ ድርብ ዜሮ መንኮራኩር ግን 38 ቁጥሮች አሉት፤ ከእነሱም በብዛት የሚወጣው በ1,225 ሽክርክሪቶች 49 ወይም ከዚያ በላይ የሚደርሰው ከዘጠኝ አንድ ጊዜ ገደማ ነው። በማንኛውም መዝገብ በብዛት የወጣው ቁጥር ዕድል በብዛት የረዳው ቁጥርም ነው፤ ስለዚህ በእውነት ያደላ ኪስ እንኳ በመዝገቡ ውስጥ ከእውነታው የተሻለ ሆኖ ይታያል፦ ይህ የአሸናፊው እርግማን ነው። ያ ኪስ በእርግጥ ያላደላ ከሆነ የKelly የውርርድ መጠን በአማካይ 5.26% የሚያከስር ውርርድ ብቻ ነው። የተለመዱት መፍትሔዎች የKelly ክፍልፋይን መወራረድና ብልጫው በአዲስ መዝገብ እስኪጸና ድረስ መቁጠርን መቀጠል ናቸው (የሩሌት መንኮራኩር አድልዎን እንዴት መለየት ይቻላል የሚለውን ይመልከቱ)።
ብልጫ ያላቸው ሰዎች
ብልጫውን ማወቅ በደንብ ከመጠቀም ጋር አንድ አይደለም። Haghani እና Dewey (2016) ለ61 ሰዎች እያንዳንዳቸው $25 ሰጥተው 60% ጊዜ «ራስ» እንደሚያሳይ በተነገራቸው ሳንቲም ላይ ለግማሽ ሰዓት እንዲወራረዱ አደረጉ፤ ትርፉ በ$250 ተገድቦ ነበር (ተጫዋቾች ገደቡን ያወቁት ሲደርሱበት ብቻ ነው)። Kelly ሁልጊዜ የጨዋታ ገንዘቡን 20% በ«ራስ» ላይ ይወራረዱ ይላል፤ ጸሐፊዎቹም ከ10–20% የሆኑ ቋሚ ውርርዶች ገደቡ ላይ 95% ገደማ ጊዜ እንደሚደርሱ ይገምታሉ። እዚያ የደረሱት ከተጫዋቾቹ 21% ብቻ ነበሩ። 28% ገንዘባቸውን ሙሉ በሙሉ አጡ፣ ከ61ዱ 18ቱ ሁሉንም በአንድ ውርወራ ላይ ተወራረዱ፣ አንድ ሶስተኛ ገደማ ከጀመሩበት $25 በታች ጨረሱ፤ አማካዩ ክፍያገንዘብየአሸናፊነት ክፍያአሸናፊ ውርርድ ከተመለሰው የውርርድ መጠን በተጨማሪ የሚያስገኘው፤ «X ለ 1» ተብሎ ይገለጻል።ሙሉውን ያንብቡ → $91 ነበር። ከ61ዱ ስለ Kelly መስፈርት ሰምተው የነበሩት አምስቱ ብቻ ነበሩ። ብልጫ ሲኖር የውርርዶቹ መጠን ብልጫውን ይዘው መቆየትዎን ይወስናል፤ ብልጫ ከሌለ ግን፣ እንደ ፍትሐዊ መንኮራኩር፣ ምንም መጠን አይረዳም።
በምትኩ ምን መጠቀም እንዳለበት
ብልጫ ከሌለ መመጠን የበጀት ጥያቄ እንጂ የእድገት ጥያቄ አይደለም፦ የውርርድ መጠን = በአንድ ሽክርክሪት ሊያወጡ የፈቀዱት፣ ከሰዓታዊ በጀትና ከጠረጴዛው ፍጥነት የሚሰላ (የሩሌት የጨዋታ ገንዘብ አስተዳደር ገጽ)። Kelly ለተራው ተጫዋች ያበረከተው የመልሱ ግልጽነት ነው፦ ዜሮ። ከዜሮ በላይ የሚወራረዱት ሁሉ በማንኛውም ቀመር የተመቻቸ ሳይሆን እርስዎ የመረጡት የመጫወቻ ዋጋ ነው።
ስለ ክፍልፋይ Kelly እና «የገንዘብ አስተዳደር» ማስታወሻ
በአንድ ውርርድ የጨዋታ ገንዘቡን ቋሚ መቶኛ የሚመክሩ፣ «Kelly ለሩሌት» ተብለው የሚሸጡ ስርዓቶች እየቀነሰ በሚሄድ የውርርድ መጠን የሚደረግ ቋሚ ውርርድስልትቋሚ ውርርድበእያንዳንዱ ሽክርክሪት ተመሳሳይ መጠን መወራረድ። እያንዳንዱ የውርርድ ማሳደጊያ ስርዓት የሚነጻጸርበት መነሻ።ሙሉውን ያንብቡ → ናቸው። የጠቅላላ የተወራረደ መጠኑንገንዘብጠቅላላ የተወራረደ መጠንበአንድ የጨዋታ ክፍለ ጊዜ ወይም ወቅት የተወራረደው ጠቅላላ መጠን፣ እንደገና የተወራረዱ ትርፎችን ጨምሮ። እንዲሁም፦ handle፣ action።ሙሉውን ያንብቡ → 2.70% ያከስራሉ፤ ሲሸነፉም የውርርድ መጠኑ ስለሚቀንስ ገንዘብን ሙሉ በሙሉ ማጣትን የማይመስል ሳይሆን ቀርፋፋ ያደርጉታል። በጀት እንዲቆይ ለማድረግ ምክንያታዊ መንገድ ነው፤ ግን Kelly አይደለም፤ Kelly የሚመክረው ማቆምን ነበር።
ቀመር
ጥያቄዎች
ከያደላ መንኮራኩርቤተ ሙከራያደላ መንኮራኩርአካላዊ ጉድለቶቹ አንዳንድ ኪሶች ከ1/37 የበለጠ የመውጣት ዕድል እንዲኖራቸው የሚያደርጉበት መንኮራኩር። ብርቅ ነው፤ ሊለይ የሚችለው በሺዎች በሚቆጠሩ የተመዘገቡ ሽክርክሪቶች ብቻ ነው።ሙሉውን ያንብቡ → ወይም ከጊዜ መለኪያ መሣሪያ የተለካ ብልጫ ሲኖር ብቻ። በፍትሐዊ መንኮራኩር ላይ አይደለም።
ምክንያቱም የብልጫው ግምት ስህተት ስላለው፣ ከመጠን በላይ መወራረድም ዝቅ አድርጎ ከመወራረድ የበለጠ ስለሚያስከፍል ነው። ግማሽ-Kelly በሩብ ተለዋዋጭነትሂሳብተለዋዋጭነትውጤቶች በሚጠበቀው እሴት ዙሪያ ምን ያህል ሰፊ ሆነው እንደሚሰራጩ የሚያሳይ መለኪያ። ለነጠላ ቁጥር ውርርድ ከፍተኛ፣ ለእኩል ክፍያ ውርርዶች ዝቅተኛ።ሙሉውን ያንብቡ → የእድገቱን ሶስት አራተኛ ይሰጣል።
አይደለም። Kelly ብልጫ ሲኖር እድገትን ያመቻቻል። የጨዋታ ገንዘብ አስተዳደር ብልጫ ሳይኖር ወጪን ይቆጣጠራል።
በሂሳብ መዝናናት
መጀመሪያ እራስዎ ይሞክሩ። እያንዳንዱ መፍትሔ ተደብቋል፤ ዝግጁ ሲሆኑ ይክፈቱት።
የThorp እና Shannon የትንበያ መሣሪያ ወደ 44% ገደማ ብልጫ ይሰጥ ነበር። በአንድ በተተነበየ ቁጥር ላይ Kelly የጨዋታ ገንዘቡንገንዘብየጨዋታ ገንዘብለጨዋታ የተመደበው ጠቅላላ ገንዘብ። የጨዋታ ገንዘብ አስተዳደር ማለት ከዚህ ውስጥ በእያንዳንዱ ውርርድና በእያንዳንዱ የጨዋታ ክፍለ ጊዜ ምን ያህሉን አደጋ ላይ እንደሚጥሉ መወሰን ነው።ሙሉውን ያንብቡ → 1.26% እንዲወራረዱ ይላል። ያው የ44% ብልጫ በአምስት ጎረቤት ቁጥሮች ላይ በተከፋፈለ አንድ ውርርድ ላይ ቢገኝስ?
መፍትሔውን ያሳዩ
መልስ ያኔ Kelly የጨዋታ ገንዘቡን 7.1% ይላል፤ የጨዋታ ገንዘቡም ወደ ስድስት እጥፍ ገደማ በፍጥነት ያድጋል፦ በ1,000 ውርርዶች ወደ 1.25 ሚሊዮን እጥፍ ገደማ፣ ከ11.5 እጥፍ ገደማ ጋር ሲነጻጸር።
የ44% ብልጫ ያለው ነጠላ ቁጥር ውርርድውርርድነጠላ ቁጥር ውርርድአንድ ቁጥር ብቻ፤ 35:1 ይከፍላል።ሙሉውን ያንብቡ → በ0.04 የመከሰት ዕድል ያሸንፋል፤ ምክንያቱም 36 × 0.04 = 1.44። የKelly የውርርድ መጠን ብልጫው ተካፍሎ በዕድል ጥምርታው ነው፦ 0.44/35 = 1.26%። በአንድ ውርርድ የተለመደው ዕድገት 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244 ነው፤ ስለዚህ 1,000 ውርርዶች የጨዋታ ገንዘቡን በe^2.44 ≈ 11.5 ገደማ ያባዙታል።
አንድን የውርርድ መጠን በአምስት ቁጥሮች ላይ ቢያከፋፍሉ ውርርዱ በ0.20 የመከሰት ዕድል ያሸንፋል፤ ለእያንዳንዱ 1 የውርርድ መጠኑን ጨምሮ 36/5 ይመልሳል፣ ማለትም 6.2 ለ 1 ይከፍላል፦ አሁንም የ44% ብልጫ ነው፤ ምክንያቱም 0.2 × 7.2 = 1.44። የKelly የውርርድ መጠን 0.44/6.2 = 7.10% ይሆናል፤ በአንድ ውርርድ ያለው ዕድገት ደግሞ 0.01404፣ ማለትም ወደ 5.75 እጥፍ ገደማ። በ1,000 ውርርዶች ይህ e^14.04 ነው፣ ወደ 1.25 ሚሊዮን ገደማ።
ብልጫው ያው ነው፤ መወዛወዙ ግን ያንሳል። ከአምስት አንድ ጊዜ የሚያሸንፍ ውርርድ ገንዘብን ሙሉ በሙሉ የማጣት ስጋት ሳይፈጥር ከጨዋታ ገንዘቡ የበለጠ ድርሻ መሸከም ይችላል፤ የKelly ዕድገትም ይህን ይሸልማል። Thorp (1984) የትንበያ ተጫዋቾች ለምን በክፍሎችመንኮራኩርክፍልበመንኮራኩሩ ላይ ያሉ ተከታታይ ኪሶች ቅስት፤ በውርርድ ሰሌዳው ላይ ካለ ቡድን የተለየ።ሙሉውን ያንብቡ → ላይ እንደሚወራረዱ ለማሳየት ምሳሌውን ይጠቀማል። በተግባር አምስት ጎረቤት ቁጥሮችውርርድጎረቤት ቁጥሮችአንድ ቁጥር እና በመንኮራኩሩ ላይ በሁለቱም ጎኑ ያሉት ሁለት ሁለት ኪሶች፤ አምስት ነጠላ ቁጥር ቺፖች።ሙሉውን ያንብቡ → ከአንዱ ምርጥ ቁጥር በትንሹ ያነሰ ብልጫ አላቸው («በሩሌት ብልጫ ማግኘት»ን ይመልከቱ)።
አንድ ተጫዋች እያንዳንዳቸው ከ37 1 ጊዜ ሳይሆን ከ25 1 ጊዜ የሚወጡ ሁለት ጎረቤት ኪሶችንመሣሪያኪስበሮተሩ ላይ ካሉት 37 ቁጥር ያላቸው ክፍሎች አንዱ። እንዲሁም፦ slot፣ cup።ሙሉውን ያንብቡ → አግኝቷል። በመካከላቸው ያለውን ስፕሊትውርርድስፕሊትሁለት ተጎራባች ቁጥሮች፤ 17:1 ይከፍላል።ሙሉውን ያንብቡ → በ17 ለ 1 ይወራረድ ወይስ እያንዳንዱን ቁጥር እንደ ነጠላ ቁጥር ውርርድ? Kelly ምን ያህል ይላል፣ የጨዋታ ገንዘቡስ እንደዚህ ካለ አንድ ኪስ ጋር ሲነጻጸር ምን ያህል በፍጥነት ያድጋል?
መፍትሔውን ያሳዩ
መልስ ልዩነት የለውም፦ በስፕሊቱ ላይ የጨዋታ ገንዘቡን 2.59%፣ ወይም በእያንዳንዱ ቁጥር ላይ 1.29%። የተለመደው የጨዋታ ገንዘብ በ1,000 ሽክርክሪቶች ወደ 155 እጥፍ ገደማ ያድጋል፤ በአንድ ኪስ ደግሞ 11.5 እጥፍ።
ስፕሊቱ በ2/25 = 0.08 የመከሰት ዕድልሂሳብየመከሰት ዕድልየአንድ ውጤት የመከሰት ዕድል፣ ከ0 እስከ 1 ወይም ከ0% እስከ 100%። አንድ ቁጥር፦ 1/37 = 2.70%።ሙሉውን ያንብቡ → ያሸንፋል፣ 17 ለ 1 ይከፍላል፤ ስለዚህ ለተወራረደ እያንዳንዱ አሃድገንዘብአሃድአንድ ስርዓት ወይም ተጫዋች የሚጠቀምበት መሠረታዊ የውርርድ መጠን። የውርርድ ማሳደጊያ ስርዓቶች በማንኛውም ጠረጴዛ ላይ እንዲሠሩ በአሃዶች ይገለጻሉ።ሙሉውን ያንብቡ → 18 × 0.08 = 1.44 ይመልሳል፦ የ44% ብልጫ፣ ልክ እንደ አንድ ያደላ ኪስ። የKelly የውርርድ መጠን ብልጫው ተካፍሎ በዕድል ጥምርታው ነው፦ 0.44/17 = 2.59%።
እያንዳንዳቸው 1.29% የሆኑ ሁለት ነጠላ ቁጥር ውርርዶች በትክክል ተመሳሳይ ውጤት ይሰጣሉ። ከሁለቱ ቁጥሮች አንዱ ሲወጣ አንድ ቺፕገንዘብቺፕቋሚ መጠንን የሚወክል፣ ውርርድ ለማድረግ በውርርድ ሰሌዳው ላይ የሚቀመጥ ምልክት። እንዲሁም፦ check።ሙሉውን ያንብቡ → 35 ለ 1 ያሸንፋል፣ ሌላው ይጠፋል፤ የተጣራው ውጤት 34 × 1.29% = የጨዋታ ገንዘቡ 44% ነው፣ ልክ ስፕሊቱ እንደሚከፍለው፤ አንዳቸውም ካልወጡ ሁለቱም ይጠፋሉ።
በአንድ ሽክርክሪት ያለው ዕድገት 0.00505 ነው፤ ለአንድ ኪስ ደግሞ 0.00244፤ ስለዚህ በ1,000 ሽክርክሪቶች የተለመደው የጨዋታ ገንዘብ በe^2.44 ≈ 11.5 እጥፍ ፈንታ በe^5.046 ≈ 155 እጥፍ ያድጋል። ሁለት ጥሩ ቁጥሮች ከአንዱ እጥፍ እጅግ የበለጠ ዋጋ አላቸው፤ የአድልዎ ተጫዋቾች በቁጥሮች ቡድን ላይ የሚወራረዱትም ለዚህ ነው። Thorp (1984) ይኸውን ንጽጽር ይሠራል።
ለመዝናኛ
ለእድገት የተሻለው የሩሌት የውርርድ መጠን ሁሉም ሰው አስቀድሞ የሚያውቀው ቁጥር ነው።
ምንጮች
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic፣ 2ኛ እትም።
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics፣ 2ኛ እትም።
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”